题分数阶微积分的基本理论及其简单应用目录要AbStract..45二、R-L型分数阶微积分的基本理论5(一)左R-L型分数阶微积分51.左R-L型分数阶积分.52.左R-L型分数阶导数.6(二)右R-L型分数阶微积分71.右R-L型分数阶积分.72.右R-L型分数阶导数…8三、R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别.9(一)R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系91.R-L型分数阶微积分是整数阶微积分的推广…92.R-L型分数阶导数也同样具有线性性质…10(二)R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的区别…101.对于常函数的求导两者得到不同结果…112.R-L型分数阶微积分是一种加权积分11四、分数阶微积分在众多方面的具体应用.12(一)分数阶微积分在图像降噪方面的应用.12(二)分数阶微积分在粘弹性材料的本构关系领域中的作用.13(三)分数阶微积分在现代信号的处理中的应用…(四)分数阶导数的幂律记忆性13五、总结14一、引言近年来，随着科学技术的飞速发展，分数阶微积分在科技领域的诸多方面所起到的重要作用也越来越明显，例如物理力学领域、自动控制领域、信号处理领域以及生物医学领域等.因此，研究了解分数阶微积分的基本原理及其简单应用就显得尤为重要.分数阶微积分是将经典的整数阶微积分运算拓展到有理分数以及无理数和复数的情形，因此研究分数阶微积分的相关问题可以帮助本科生更好地理解和学习高等数学中所涉及的整数阶微积分方面的知识理论，建构好微积分领域的认知结构，形成更加系统完善的知识体系，从而对微积分知识有更加清晰深入的理解.文章将主要从R-L型分数阶微积分的基本理论、分数阶微积分与整数阶微积分的区别与联系以及分数阶微积分在实际生活中的应用三大部分出发，对分数阶微积分的基本原理及其简单应用进行说明.二、R-L型分数阶微积分的基本理论分数阶微积分这一问题的研究已经具有较长时间，早在微积分创立的时代就已经被提出.1695年，Leibniz给Hospital写信时第一次提出了将微分阶次从整数推广到非整数的含义的问题.在此之前，整数阶微积分在人们的生产生活中已经得到了广泛应用，但人们逐渐发现，在描述一些复杂问题和复杂现象时，整数阶微积分逐渐出现了一些限制，例如因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等问题，由这些限制引发的对问题的思考让分数阶微积分逐渐走入了人们的视野.那么何为分数阶微积分？如何定义？它又有怎样的性质？以下这一部分就将对Riemann-Liouville型(R-L型)分数阶微积分的定义及其若干性质进行详细介绍.(一)左R-L型分数阶微积分1.左R-L型分数阶积分如何对左R-L型分数阶积分进行定义？在本科阶段的数学分析中，我们学过整数阶积分，并且知道函数u(x)的n阶积分的表达式通过Gamma函数，我们可以将上式记为因此我们将函数u(x)的(n∈)重积分推广到非整数的情形时可以得出如下定义：设函数u(x)定义在区间(a,b)上，μ>0，则次数为μ的左R-L分数阶积分定义为