线性方程组直解法的研究文献综述摘要：线性代数有着久远的发展历史和丰富多彩的教育内涵，不仅是中国高校数理专业的一个重要的基本教学，而且是中国本专科高等教育中各个学科的一个重要公共基础课，能够提高学生的知识储备和思维能力。而最为线性代数核心内容的线性方程组的求解方法，也是具有十分深刻的现实意义及理论意义。本文将对其中的直解法进行研究文献的综述。关键词：线性方程组：直解法：求解方法一、主题部分(一)线性方程组求解法的历史背景及前人工作线性代数学理论不仅是中国高校数理专业的一个主要的基本课题，而且还是中国本专科高等教育中各个学科的一个重要公共基础课，对于后续专业知识的掌握和学生的计算能力、逻辑推理能力、抽象归纳能力的训练等都起着十分关键的作用。因此线性代数学理论具有漫长的发展历程和丰富的理论内涵。近年来由于科技的迅速发展，尤其是计算机应用的范围越来越广泛，成为了主要的数学工具之一。线性代数的应用范围已广泛到了自然科学、社会、工程、经济与管理等各个领域。而求解线性方程组问题则是现代线性代数的核心所在，同时也是它的最主要的应用所在。线性方程组理论的解决，不仅在工程研究上和在环境科学研究上，都具有十分重大的意义，而且使得很多工程问题在最后都可能成为了一个线性方程组的解决问题。例如，地下水线性渗流理论、在常温下水泥T柱的变形研究和计算公式问题、房屋结构中，在强烈日照影响下形成的温度场的数值估计问题等，都是对线性方程组理论一直解的具体运用。从中可以发现，由于原来的线性方程组源于社会生活，并产生了在实践中，因此正是一些社会现实问题推动着这门课程的产生与发展。所以，由于线性方程组与人们的日常生活密不可分，因此人类对于线性方程组的研究也在不断的深化，而线性方程组理论以及方法也在不断的被运用到现实问题之中。关于线性方程组的方法，我国古代就已有较为全面的阐述。在《九章算术方程式》中，主要介绍的是现在的高斯消元法，即用原方程式组的增广矩阵进行初等转换，以消去未知数量的方式。在印度，于梵藏的算书中很早就存在了方程式组。在西欧，法国人几何家彪特在一五五九年提出了三元一次方程组的求解，这就是欧洲人中第一个发现的有关三元一次方程组的求解。此后直至十七世纪后期，由莱布尼茨才开始了对线性方程组的研究，他在当时研究的主要是含有二个未知数的三个由线性方程组所组成的方程，同时通过对线性方程组的深入研究还促成了他提出了行列式算法。后来，俄国的几何学家培祖根用序列形式给出了线性方程组的清晰定义。在十八世纪上零点五叶，麦克劳林通过对含有第二、第三、最后四个未知数的线性方程组的研究，最后确定了如今的克莱姆法则，而这个结果则在一七四八年时被收录于了他的主要作品《代数论著》中。在一七五零年前，克莱姆就提出了更为普遍的关于多重次未知量线性微分方程组的行列式求解的基本规则。在十八世纪后半叶，法兰西现代数学研究家贝祖证实了多重齐次线性方程组的非零解的必然性：系数矩阵必须等于零。到十九世纪，微分方程组论研究也获得了很大成果。有关微分方程组的增广矩阵和非增广矩阵的定义，正是在那段时期由英格兰现代数学家史密斯所引入的。另外，英格兰现代数学家道奇森也证实了：与n个不知道数或n个微分方程的微分方程组相容的充要前提条件便是系数矩阵必须与增广矩阵的秩一致。随着线性方程组理论的深入发展和计算方法的不断进步，其在处理理论或实践问题中的运用也将日益深入。特别是由于当下计算机的快速发展，以及科技进步，线性方程组理论与方法，对于当下的很多实际领域，包括飞机、造船、化工还有其他的结构与工程技术领域中，也起到了日益巨大的影响。通过对线性方程组基础理论及方法的进一步认识与研究，其在人们日常生活中各个领域的意义逐步的凸显了起来。如今，线性方程组理论正逐步完善，而各种方法也不断的被摸索出并逐步完善，今天将对其直解法相关计算方法进行研究文献综述。(二)线性方程组直解法的研究现状及研究成果在社会生产生活中的各个领域，都常会遇到求解n阶线性方程组(1.2.1)的问题，方程组(1.2.1)可简记为化=b。(1.2.1)02n0x=b=0线性方程中的计算方式分成二大类，一种是直法，另一类是迭代法。而本次会议重点研究的就是直分析方法。所谓直解，是指通过有限步算术运算，得到正确解的办法。在实际运算过程中由于舍入误差的出现与干扰，只得求出近似解。直解中，最基本的方法是高斯消元法以及某些变换，是解低阶稠密矩阵方程组及其部分系数方程的最有效方式。具体如下：2.1高斯消去法高斯消去法(Gauss Elimination Method)是一个高度规律化的加减消元法。基本思路是，利用逐次消元算法把将要解决的一般线性方程组转换为上三角方程，再即将一般线性方程组的系数矩阵转换为上三角矩阵，进而将一般线性方程组的求解转换为等价（同解）的上三角方程的求解。著名的线性方程组的最直接方法是高斯消去法，它是在国际上的普遍叫法，以法国数学家高斯为名，约于一八零零年，高斯(Guss)发明了高斯消元法，利用它解答了天体的运动难题。而高斯先生的消去法实为中国古代法，最早于公元一上个世纪时在中国东汉初年成书的《九篇计算》中已具雏形，至迟在公元二六三年由于三国时期的计算数学家刘徽在注解《九篇计算》时业已实现，并经中国历代的计算数学家们所沿用至今。目前，高斯消元法和有它改良、变化而获得的选主元素消去法、三角分解法等仍是最常见的有效办法。2.2列主元消去法列主元素消去法，是为了限制圆唇误差而提出来的一个计算，在高斯消去法的消元步骤中，如果存在α=0，则消元将无从实现，因为尽管它不为零，但是很小，将其当成除数，将会引起其他元件量级的大幅增加以及圆唇误差的扩大，最后使计算不可靠。这也正是小主元带来的烦恼，所以还需要避免使用绝对值较小的大主元素。由此来看，对普通系数矩阵法来说，以最佳的每一个选取系数矩阵（或消元后的低阶系数矩阵)的绝对值最高的位元愫为主因子，以保证高斯消去法有很高的数据可靠性。也是根据全主元素消去法的思想，采用系列主元素消去法的，基本上能控制舍入误差的影响，并且选主元素比较方便。列主元消去法总体过程与高斯消去法基本一致，唯一不同之处在于在选主元之前增加了一步按列选主元。2.3直接三角分解法假设线性方程组纸=b的系数矩阵都已经完成了三角解，A=LUk=b等价于同时求解二个三角方程组y=b,G=y。通过从计算矩阵甚解所有元件中得出能够运算L、U元件的递推公式，而不需要经过什么中间过程，这便是直观的三角分解法则。2.4平方根法